Применение компьютерных программ при изучении курса математики на примере графопостроителя Advanced Grapher

1 слайд

Трудности, возникающие при изучении тем: исследование и построение графиков функций, решение уравнений и неравенств графическим способом, исследование функций с помощью производной, нахождение первообразной функции и площади криволинейной трапеции, требуют новых подходов в организации учебного процесса.

2 слайд.

В настоящее время имеется достаточное число компьютерных программ, предназначенных для построения на плоскости графиков функций, заданных математическими формулами. Они используются как для научных, так и для образовательных целей.

Для проведения занятий по математике по построению и исследованию графиков функций так же можно рекомендовать использование более распространенных программ как электронных таблиц MS Excel или другие графопостроители (на примере GraphPlotter). Но нам хотелось бы показать именно возможности программы Advanced Grapher, на наш взгляд достаточно интересной и обладает дружественным интерфейсом. Устанавливается на компьютеры очень легко и быстро. В некоммерческих целях русская версия данной программы в России может использоваться бесплатно.

Использование на уроках математики информационно-коммуникационных технологий, в частности графической программы Advanced Grapher, позволяет с успехом решать эти задачи и расширить горизонты школьной математики.

     Advanced Grapher мощная и простая в использовании программа для построения графиков и их анализа. Поддерживает построение графиков функций вида Y(x), X(y), в полярных координатах, заданных параметрическими уравнениями, графиков таблиц, неявных функций (уравнений) и неравенств. До 100 графиков в одном окне. Вычислительные возможности: регрессионный анализ, нахождение нулей и экстремумов функций, точек пересечения графиков, нахождение производных, уравнений касательных и нормалей, численное интегрирование. Большое количество параметров графиков и координатной плоскости. Имеет возможности печати, сохранения и копирования графиков в виде рисунков, многодокументный настраиваемый интерфейс. Поддерживает русский интерфейс. Пользователи из России могут в некоммерческих целях использовать программу бесплатно

Возможности программы Advanced Grapher и ее описание.

Программа Advanced Grapher обладает современными графическими характеристиками. Вы можете свободно добавлять, перемещать, копировать графики и изменять их расположение на графическом листе. Внешний вид программы:

 3 слайд

Остановимся на программе Advanced Grapher, использующейся в качестве виртуальной моделирующей среды. Эта программа не только имеет достаточно простой интерфейс, но и минимальные системные требования. Хотя формально программа является платной, русскоязычным пользователям за нее платить не придется. Если при установке вы выберете русский язык и согласитесь использовать ее только в личных целях - то покупка лицензии для вас не требуется.

 Данная программа представляет собой графопостроитель с широкими дополнительными возможностями. 

Мне хочется рассказать о программе ADVANCED GRAPHER. Используя ADVANCED GRAPHER, можно строить графики алгебраических и тригонометрических функций, исследовать функции, находить их производную или первообразную. С помощью программы легко вычисляются координаты точек пересечения графиков, вычисляются площади замкнутых фигур, устанавливаются уравнения касательных к графику данной функции в указанных точках.

Она позволяет не только строить разнообразные графики на плоскости,  проводить исследование функций, находить приближенно корни алгебраического уравнения и точки экстремума функции одной переменной, получать аналитическое выражение для производной,  выполнять численное интегрирование, графически решать неравенства, осуществлять регрессионный анализ.

Программу можно использовать и при изучении математического анализа,  математической логики,  аналитической геометрии,  теории вероятностей и математической статистики. С помощью программы легко вычисляются координаты точек пересечения графиков, вычисляются площади замкнутых фигур, устанавливаются уравнения касательных к графику данной функции в указанных точках.

Функции программы, однако, не исчерпываются построением графиков.

Функциональные возможности программы Advanced Grapher можно сравнить, например, с универсальными пакетами Mathcad или MatLAB. Безусловно, что студентам и учащимся легче освоить и удобнее использовать в повседневной практике программу Advanced Grapher, чем эти пакеты. В то же время ознакомить студентов с современными математическими пакетами желательно.

6 слайд

1 пример. Решение системы уравнений и неравенств. Пусть надо решить графически систему из двух неравенств: >0, . Первый способ. Можно решить систему, последовательно строя область решений для каждого неравенства и взять затем пересечение этих областей. Для этого сначала нажать кнопку Добавить функцию, выбрать в диалоговом окне вместо опцию « <|=|>0 уравнение или неравенство», ввести в поле Формула одно из неравенств, выбрать способ штриховки и цвет области решений неравенства; аналогично для второго неравенства, но штриховку взять другую. При этом граничную линию придется строить отдельно. В результате построений наглядно будет видна область решений системы неравенств.

7 слайд

2 пример Для примера построим график функции на промежутке от -10 до 10 (см. рис. 4). Исследуем ее на выпуклость и вогнутость. Нажмем кнопку Производная и построим график первой производной, получив также ее аналитическое выражение. Если в Списке функций выделить первую производную, и еще раз нажать кнопку Производная, то можно построить график второй производной от исходной функции и получить ее аналитическое выражение (замечу, что вид выражений для производных в программе Advanced Grapher не очень удобен). Теперь нажмем кнопку Исследование функции и в появившемся диалоговом окне в поле Y ( x ) выберем нужную из трех построенных функций (вторую производную). Найдем нули второй производной (на указанном промежутке), это -3, 0, 3. Знаки второй производной в соответствующих интервалах определяем по ее графику. Делаем окончательный вывод о промежутках выпуклости и вогнутости данной функции и наличии точек перегиба. С помощью кнопки Трассировка находим координаты точек перегиба, это (-3,-3), (0,2), (3,7). Или же нажмем кнопку Таблица значений, выберем в диалоговом окне нужную функцию из построенных функций и вычислим ее значения от -3 до 3 с шагом 3.

9 слайд

3 пример Рассмотрим для примера определенный  интеграл. Построим график подынтегральной функции на промежутке от -10 до 10 Нажмем кнопку Интегрирование и в диалоговом окне выберем параметры: между какими из построенных функций следует заштриховать криволинейную трапецию, а также укажем промежуток интегрирования. Выполним сначала действие Добавить график, появится заштрихованная область. Затем еще раз нажмем кнопку Интегрирование, но теперь выполним действие Считать, появится итог – приближенное значение данного интеграла.

12 слайд

Данная программа может быть использована преподавателями в учебном процессе по дисциплине «Математика» по следующим темам:

• Графический метод решения системы уравнений и неравенств.

• Функции, их свойства и графики. (Наглядное представление о способах задания функции и виде их графиков. Исследование области определения функции. Свойства основных элементарных функций. Преобразования графиков.)

• Теория пределов. (Предел функции. Вычислительный эксперимент, связанный с понятием предела функции. Эквивалентные бесконечно малые . Понятие последовательности. Вычисление предела последовательности . Вычислительный эксперимент, связанный с первым и вторым замечательным пределом.)

• Дифференцирование функций одной переменной. (Вычислительный эксперимент, связанный с понятием производной в точке. Геометрический смысл производной. Вычислительный эксперимент, связанный с понятием касательной и дифференциала. Правила дифференцирования функций. Производные высших порядков.)

Применение производной к исследованию функций. (Исследование функции на монотонность и экстремумы по виду графика и исследование поведения ее производной. Исследование функций на монотонность и экстремумы с помощью производной. Исследование функций на выпуклость и вогнутость, точки перегиба с помощью касательных. Исследование функций на выпуклость, вогнутость, точки перегиба с помощью второй производной. Асимптоты кривых. Полное исследование функций и построение их графиков.  Приближенное решение уравнений вида методом хорд или методом касательных. Отыскание (точное или приближенное) корней многочленов и нулей функций вида )

Аналитическая геометрия на плоскости. (Полярная система координат. Способы задания кривых на плоскости. Решение задач с использованием прямых на плоскости. Кривые второго порядка .Графическое решение системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графическое решение системы линейных неравенств с двумя переменными.)

Интегральное исчисление функций одной переменной. (Вычислительный эксперимент, связанный с понятием определенного интеграла. Определенный интеграл. Приближенное вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеций, парабол. Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции. Вычисление площади плоской пластинки в декартовых или полярных координатах с помощью определенного интеграла. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, явным уравнением или уравнением в полярных координатах. Свойства некоторых специальных функций. Вычислительный эксперимент, связанный с понятием несобственного интеграла по бесконечному промежутку или от неограниченной функции.)

Ряды. (Вычислительный эксперимент, связанный с понятием сходимости ряда. Разложение функций в ряд Тейлора. Применение рядов Тейлора в приближенных вычислениях. Составление ряда Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций. Составление рядов Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.)

Применения, связанные с темой «Теория вероятностей и математическая статистика. (Дискретные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины. Вычисление вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Нормально распределенная случайная величина, вычисление вероятности ее попадания в интервал. Свойства функции Лапласа и приведенной функции Лапласа. Точечные оценки числовых характеристик случайной величины и системы двух случайных величин. Линия регрессии. Регрессионный анализ. Статистическое моделирование случайных событий и случайных величин.)

Если преподаватель преподает наряду с математикой и информатику. Это позволяет применить на уроках математики компьютеры.

опыт показал, что применение компьютерных технологий на уроках математики необходимо и актуально.

В настоящее время поскольку роль математических знаний и математических методов исследования постоянно возрастает, то математическое образование имеет особое значение.

Важно наряду с изучением собственно математики показать ее прикладные возможности, научить учащихсяв использовать свои математические знания для решения конкретных задач". Этому очень поможет использование информационных технологий.

 Чтобы изменить восприятие математики новому поколению необходимо его заинтересовать.

Рекомендуем преподавателям математики,  информатики и ИКТ использовать программу Advanced Grapher на лекциях, практических и лабораторных занятиях по математике, а также при разработке тем студенческих научных и курсовых работ. Кроме того, программа может быть успешно использоваться на занятиях спецкурса и элективных курсов. Это будет способствовать тому, чтобы учащиеся успешно применяли математические методы при изучении различных специальных дисциплин с использованием современных программных средств и информационных технологий для инженерных расчетов и графических построений.

  Преподаватель, располагающий компьютером, имеет уникальную возможность сделать процесс обучения более наглядным и динамичным. Использование информационных технологий на занятиях способствует повышению качества знаний, расширяет горизонты математики.

В настоящее время существует множество программ, позволяющих рисовать графики функций. Они позволяют давать иллюстрацию важнейших понятий, связанных с функциями, причем сделать это наглядно и быстро, что повышает и активизирует познавательную активность учащихся. Появляется возможность оптимально сочетать практические и аналитические виды деятельности в соответствии с индивидуальными особенностями каждого ученика.

Особенно эффективно применение программы ADVANCED GRAPHER при изучении следующих разделов математики:

• взаимное расположение графиков линейных функций (7 класс);
• графический способ решения системы линейных уравнений (7 класс);
• графический способ решения уравнений (8 класс);
• построение графика квадратичной функции (9 класс);
• графический способ решения систем уравнений (9 класс);
• нахождение касательной к графику функции (10 класс);
• исследование функции при помощи производной и построение графика функции (10 класс);
• нахождение площади фигуры (11 класс);
• итоговое повторение.